Лаборатория математического моделирования в физике и технике

Заведующий лабораторией,
д.ф.-м.н., профессор В.А. Рукавишников

Состав лаборатории

Лаборатория основана в 1990 году.

Заведующий лабораторией: д.ф.-м.н., профессор В.А. Рукавишников
тел. 8(4212)704342

Основные направления научных исследований

  • разработка и обоснование методов численного анализа задач теории катастроф;
  • приложение методов численного анализа к изучению математических моделей электродинамики, гидродинамики и теории упругости.

 

Состав лаборатории

Рукавишников Виктор Анатольевич - д.ф.-м.н., заведующий лабораторией

Ткаченко Олег Павлович - д.ф.-м.н., старший научный сотрудник

Беспалов Алексей Юрьевич - к.ф.-м.н., старший научный сотрудник

Власенко Виктор Дмитриевич - к.ф.-м.н., старший научный сотрудник (с 1990 по 2000 гг.)

Ереклинцев Антон Германович - к.ф.-м.н., научный сотрудник (с 2000 по 2008 гг.)

Кашуба Елена Владимировна - к.ф.-м.н., старший научный сотрудник

Рукавишникова Елена Ивановна - к.ф.-м.н., старший научный сотрудник

Мосолапов Андрей Олегович - научный сотрудник

Николаев Сергей Георгиевич - научный сотрудник

Основные научные результаты

На протяжении ряда лет сотрудниками лаборатории создавались и исследовались методы численного анализа краевых задач для дифференциальных уравнений с сингулярностью решения, которая может быть вызвана тремя причинами: наличием угловых точек на границе области, сменой типа граничных условий в точках границы и сингулярностью исходных данных (коэффициентов уравнения, правых частей уравнения и граничных условий). Для таких задач было выделено два класса краевых задач: с согласованным и несогласованным вырождением исходных данных.

Для первой и третьей краевых задач для несамосопряженного эллиптического уравнения с согласованным вырождением исходных данных в произвольной выпуклости области доказаны существование и единственность $R_u$-обобщенного решения, исследованы его коэрцитивные и дифференциальные свойства в весовых пространствах С.Л. Соболева. Для задачи Дирихле с несогласованным вырождением исходных данных в произвольной области исследованы вопросы существования и единственности решения, доказана его принадлежность специальному множеству $W^k_{2,u+\beta/2}(\Omega,\delta)$ , $(k\geq 2)$.

Построены разностные схемы различных типов, установлены оценки скорости сходимости в нормах разностных аналогов пространств $H^1_{2,u+\beta/2}$, $H^2_{2,u+\beta/2}$, $W^1_{2,u+\beta/2}$ для задачи Дирихле и с изменением типа граничных условий (главных и естественных) как при согласованном, так и несогласованном вырождении исходных данных.

Исследована точность нахождения $R_u$-обобщенного решения в h-версии метода конечных элементов в весовых пространствах $H^1_{2,u+\beta/2}$ и $L_{2,u+\gamma}$ для краевых задач с согласованным вырождением исходных данных на конечном множестве точек, принадлежащих криволинейной границе двумерной области.

Построены ортонормированные системы сингулярных полиномов одного и двух переменных, изучены их свойства. На их основе создана p-версия метода конечных элементов для одномерной и двумерной краевых задач с сильной сингулярностью, установлены оценки скорости сходимости приближенного решения к $R_u$-обобщенному решению, зависящие от степени p аппроксимационных функций.

Для одномерной и двумерной задачи Дирихле с согласованным вырождением исходных данных и с сингулярностью решения в граничных точках построена и исследована h-p версия МКЭ. Для каждой из задач доказана экспоненциальная оценка скорости сходимости в норме весового пространства С.Л. Соболева.

Для системы уравнений Максвелла с сильной сингулярностью, вызванной наличием тупого угла у границы области, на основе введения $R_u$-обобщенного решения создан весовой векторный метод конечных элементов. Численные эксперименты модельных задач показали, что порядок скорости сходимости приближенного решения к точному решению предлагаемого метода более чем в полтора раза выше по сравнению с результатами авторов ряда работ.

Для краевой задачи с двойной сингулярностью, вызванной разрывностью исходных данных (коэффициентов и правых частей уравнения и граничных условий) в сочетании с геометрическими особенностями границы области разработан сингулярный мортарный метод конечных элементов, позволяющий одновременно учитывать влияние двух особенностей на поведение решения.

Проведен анализ полиномиальных аппроксимаций типичных сингулярных функций в пространстве С.Л. Соболева с дробным индексом и, как следствие, доказана оптимальная оценка скорости сходимости p-версии метода граничных элементов для гиперсингулярных операторов на кусочно-плоских открытых поверхностях.

Построена универсальная математическая модель криволинейного трубопровода в вязкоупругой среде на основе нелинейного обобщения теории оболочек В.З. Власова. Создан обобщенный алгоритм построения приближенного решения уравнений модели. На его основе для задач о медленном движении трубы и гидроупругих колебаниях в трубопроводе выведены упрощенные уравнения, содержащие одну пространственную переменную, но сохраняющие общность подхода теории оболочек.

Поставлены численные эксперименты по механике медленного движения трубопровода. Установлено, что предложенная математическая модель адекватно описывает известные явления динамики протяженных труб, и может быть расширена на случай переменного перепада внутреннего давления; найдено, что поперечные сечения протяженного криволинейного тонкостенного трубопровода испытывают депланацию, что важно для уточнения методик построения широко использующихся стержневых моделей трубопроводов.

Поставлены численные эксперименты по вычислительной механике внутренних волн в трубопроводах. Исследованы избранные задачи о гидравлическом ударе и акустических колебаниях, по которым в литературе есть экспериментальные и численные результаты. Установлено, что предложенная математическая модель обладает большей общностью, чем опубликованные ранее модели, и адекватно описывает все рассмотренные примеры.

Разработан новый подход к математическому моделированию распространения нелинейных внутренних гидроупругих волн в трубопроводах, заполненных несжимаемой жидкостью. Выполнен анализ динамики прямолинейного и изогнутого трубопровода при различных соотношениях между малыми параметрами, входящими в уравнения движения. Установлено, что волновая динамика описывается уравнениями Кортевега-де Вриза и Клейна-Гордона-Фока, найдены условия применимости этих уравнений к механике трубопроводов.

По результатам исследований сотрудниками лаборатории опубликовано 160 научных работ, из которых более 50 - статьи в рецензируемых журналах и за рубежом. Основные результаты опубликованы в таких изданиях, как "Доклады РАН", "Дифференциальные уравнения", "Прикладная механика и техническая физика", "Сибирский журнал вычислительной математики","Вычислительные технологии", "Журнал вычислительной математики и математической физики", "Russian Journal of Numerical Analysis and Mathematical Modelling", "Journal of Computational and Applied Mathematics", "Journal of Computational Physics", "Journal of Physics: Conference Series". При этом по тематике, связанной с изучением краевых задач с сингулярностью и методов их численного анализа, опубликована серия из семи статей в журнале "Доклады РАН" ("Доклады АН СССР").